Нашёл на каком-то корейском форуме, хорошо что переводчик есть.
Решение:
Закрываем агент Battle.net
Ищем папку Мои документы → StarCraft II
Переименовываем её в StarCraft II-old
Запускаем агент Battle.net, он что-то там успешно обновляет, говорит что можно играть.
Закрываем агент Battle.net
Копируем (НЕ переносим!) все данные из папки StarCraft II-old в StarCraft II
Удаляем папку StarCraft II-old
Теперь всё работает.