Wie weiter oben schon geschrieben, habe/hatte ich das Problem auch, aber nur auf dem Asia-Server (was ich merkwürdig genug finde, ich spiele auf allen drei Servern).
Samstag 17 Uhr war ‚Monatswechsel‘ auf Asia, und seitdem brach auch bei mir sofort mit der ersten Anzeige („Du hast Rang blabla erreicht“) das Spiel zusammen, und ich kam gar nicht mehr bis zu der Quest-Anzeige.
Das Problem bestand sowohl auf Windows10-PC (LAN) als auch auf zwei verschiedenen Android-Handys (einmal mit Google-Play-App, einmal mit Amazon-App) im WLAN.
Im amerikanischen Forum gibt es auch einen Thread mit diversen Beschwerden über dieses Problem (manche haben es auf dem EU-Server, manche auf dem America-Server).
Dort haben einige Spieler geschrieben, dass sie dieses Problem nur im LAN/WLAN haben, jedoch nicht mobil.
Ein einzelner Spieler wies darauf hin, dass ihm ein Blizz-Mitarbeiter gesagt hat, dass solche Fehler auch durch korrumpierte Decks entstehen können.
Mobil habe ich dann mal kurz probiert, kam aber nicht weiter als bis zum Hearthstone-Schriftzug (Spiel stürzte aber NICHT ab).
Dann habe ich auf dem einen Handy mal die Google-Play-Store App komplett de- und neu installiert, und konnte anschließend tatsächlich MOBIL auf den Asia-Server gelangen.
Dort habe ich dann alle Decks gelöscht, die bei mir unvollständig (28/30 Karten o.ä.) vorhanden waren.
Und erstaunlicherweise konnte ich danach auch wieder vom PC (LAN) auf Asia zugreifen (musste noch nicht mal kurz warten, sondern konnte die Quests direkt weg klicken). Es geht jetzt immer noch.
Ich habe keine Ahnung, was die tatsächliche Fehler-Ursache ist, aber bei mir hat die beschriebene Vorgehensweise geholfen.